MATEMATICA I, UNEFA Guacara Secciòn:G-016-N

El valor es de 5% cada ejercicio, para un total de 15%, el examen:
1.- Resolver el limite

Por lo que aplicando la factorización:

2.- Solucionar el siguiente limite:

Dividiendo entre x³ por ser variable de mayor potencia tendríamos:

3.-Encontrar la solución del siguiente limite

Debido a que se puede expresar como

por lo que:

La Historia del Cálculo no se inicio con Leibnitz ni con Newton, es una historia larga de contar, y seguramente como toda historia, se omitirían personajes, En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass.

De manera informal el límite se define de la forma siguiente:

Definición de límite de f(x) en a informal.

Sea f(x) una función y a un número fijo.

Supongamos que el condominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).

Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el límite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.

Lo cual se representa de la siguiente forma:

1.- Resolver el limite:

solución:

2.- Resolver el limite

solución:

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

1^er Método

Por lo que aplicando la factorización:

2^odo Método

Mediante la regla de L´Hospital

Simplificar

Simplificar

Simplificar

Efectuar

Simplificar

Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe
, a un número b que elevado a n dé a.
Ejemplos:

se llama radical; a, radicando; y n, índice de la raíz.
EXISTENCIA DE RADICALES.
Primera: si a es positivo,
existe, cualquiera que sea n.

Segunda: si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.

Tercera: salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario,
es un número irracional. Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.
FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

Esta nomenclatura es coherente con la definición.

Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá expresarlos y operar cómodamente con ellos.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).

Segunda:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;

de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.

Tercera:

Ejemplos:

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.

Cuarta:

Ejemplos:

Quinta:

Ejemplos:

RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.

Los radicales
y
son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.

y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

Más ejemplos de radicales semejantes:

OPERACIONES CON RADICALES
La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.

Ejemplo:

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.

Ejemplo:

El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores.

Ejemplo:

El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.

Ejemplo:

La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia.

Ejemplo:

Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando.

Ejemplo:

EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Al efectuar cálculos con radicales pueden surgir expresiones fraccionarias en las que aparezcan radicales.
Estas expresiones no son números racionales, pues para ello el numerador y el denominador tendrían que ser números enteros.
A estas expresiones las llamaremos expresiones fraccionarias, y verifican las mismas propiedades que los números racionales. Es especialmente importante recordar estas dos:
Primera: dos expresiones fraccionarias son equivalentes si los productos cruzados son iguales.
Segunda: si multiplicamos el numerador y el denominador de una expresión fraccionaria por una misma expresión distinta de cero, se obtiene una expresión fraccionaria equivalente a la primera.

Conclusión
Muchas personas encuentran las matemáticas un tema arduo, complicado y, a veces, indescifrable. Por eso, en esta carpeta hemos tratado de huir de formalismos, que en ocasiones consiguen desviar y hemos ejemplificado todas las definiciones
Las bases de las matemáticas no es saber mucho, sino saber hacer.

Bibliografía

Enciclopedia aritmética
Editorial el periódico
Enciclopedia temática interactiva matemática
Ediciones I y II
Lectus Vergara
Zeta Multimedia

Radicales

A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real.
Definición de
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
1) Si , entonces
2) Si , entonces es el número real positivo b tal que .
3) a) Si y n es non, entonces es el numero real negativo b tal que .
b) Si y n es par, entonces no es un número real.
Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de a. El número es la raíz cúbica de a.

Ilustraciones:

Observa que porque , por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión es un radical, el número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.
Si , entonces ; esto es, .

En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.
Propiedades de (n es un entero positivo).

Propiedad	Ejemplo

De esta ultima propiedad vemos que: para todo numero real x. En particular, si entonces sin embargo si , entonces , que es positiva.
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.

Ley	Ejemplo

Advertencias respecto a errores comunes:

Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible.

Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a) b) c)

Solución
a)

b)

c)

Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma con k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y denominador por eliminaremos el radical del denominador porque:
Este proceso se llama racionalización del denominador.

Factor en el denominador	Multiplicar numerador y denominador por	Factor resultante

Ejemplos

Racionalización de denominadores
Racionaliza:

a) b)

Solución
a)

b)

Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el calculo para la resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado.

Definición de exponentes racionales

Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un numero real tal que existe , entonces

Nota:
Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales.

Simplificación de potencias racionales
Simplifica:
a) b)

Solución
a)

b)

Para factorizar polinomios hay varios métodos:
Sacar factor comun: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
a.(x+y) = a.x + a.y
Cuando nos piden sacar factor comun o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 36X2 - 12X3 +18X
Sacamos el máximo comun divisor a 36, 12 y 18= 6,
este 6 se coloca delante de los parentesis, coloco laX por que los tres tiene X.Divido 36/6 =6, 12/6 =2, 18/6 =3 y estos resultados los coloco dentro de los parentesis con la x restandole una, ejemplo 6x . 6x = 36X2, 6x . 2x2 = 12X3, 6X . 3 = 18X
6X (6X - 2X2 + 3)= 36X2 - 12X3 +18X
Ejercicios:
3X2 - 6X + 9X4 = 3X (X - 2 + 3X3)
2X3 - 4/3X2 + 2X = 2X (X2 -2/3X + 1)

PARA SABER CUANDO UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO:

1. Se saca la raiz cuadrada del “primer” termino
2. Se saca la raiz cuadrada del “tercer” termino
3. Se comprueba si el segundo término es el doble del producto de las raíces cuadradas anteriores. Si esto es así, el trinomio es cuadrado perfecto.

Ejemplo:

a) R(x) = X2 + 10X + 25

1. Raíz cuadrada del primer termino: V2 = X

2. . Raíz cuadrada del primer termino: V25 = 5

3. Doble del producto de las dos raíces: 2 · 5 · X = 10 X

R(x) = X2 + 10X + 25

Ejercicos:

1. M(x) = X2 + 10/7X + 25/49
2. U(x) = X2 + 3X + 1
3. P(x) = 4X2 + 12X + 9
4. R(x) = 25X2 + X + 1/100
5. U(x) = 9X2 + 30X + 25
6. P(x) = X2 + 3/2X + 9/16
7. M(x) = X2 + 10X + 100
8. R(x) = X2 + 22X + 121
9. U(x) = X2 + 12X + 36

Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes.
Por ejemplo :
Factorizar los siguientes números:

15= 3x 5
27=3 x 9
99 = 9 x 11
6 = 3 x 2

En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo :
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas, sacandole la raiz a los dos terminos.
Veamos algunos ejemplos.

4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)

25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)

c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)

De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:

9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)

121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)

64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos.
Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento.

ab + ac + ad = a ( b + c + d )

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Factorización de trinomios cuadrados perfectos:
Cuando elevamos al cuadrado un binomio siempre se obtiene un trinomio, que llamamos trinomio cuadrado perfecto

Inversamente, si nos dan un trinomio cuadrado perfecto lo podemos escribir en forma del binomio al cuadrado que lo genera.

P r o c e d i m i e n t o

1. Ordenamos le trinomio con relación a una letra, y para que sea factorizable se tiene que cumplir, que el primero y el tercer término tengan el mismo signo y raíz cuadrada.

2. Obtenemos las raíces del 1º y 3º términos.

3. Si es factorizable se tiene que cumplir, que el doble del producto de las raíces sea igual al 2º término.

4.Si todo lo anterior se cumple, dentro de un paréntesis elevado al cuadrado escribimos las raíces separadas por el signo que tenga el segundo término del polinomioo ordenado.

Nota: el orden en que se escriban las raíces dentro del paréntesis no influye en el resultado, porque la forma de ordenar el trinomio es arbitraria.

En cada caso tenemos que comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto, para lo cual efectuamos lo siguientes pasos: 1º) ordenamos el trinomio con relación a una de sus letras.2º) hallamos las raíces cuadradas del primero y tercer término. 3º) comprobamos que se cumple, que el doble producto de las raíces es igual al segundo del trinomio ordenado.

Si todo esto se cumple, el trinomio es cuadrado perfecto, y su factorización es igual al paréntesis elevado al cuadrado, en cuyo interior se escriben las dos raíces separadas por el signo del segundo término del polinomio ordenado.

Ejemplo:

a) x2+14xy+49y2 Ya está ordenado en forma decreciente con relación a la x x2+14xy+49y2

Doble del producto de las raíces 2(x)(7y)= 14xy que es

Igual al 2º término, por lo tanto:

x2+14xy+49y2 = (x+7y)2

Raíces x 2º 7y

a) x4 +x2y2 +y4 Este trinomio no es cuadrado perfecto, porque la raíz cuadrada de x4 es x2; la raíz cuadrada de y4 es y2 y el doble producto de estas raíces es 2x2y2.

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término x2y2 se convierta en 2x2y2, lo cual se consigue sumándole x2y2 pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x2y2 y tendremos:

x4 +x2y2 +y4

+x2y2 - x2y2

x4 +2x2y2 +y4- x2y2 = (x4 +2x2y2 +y4) - x2y2

(Factorando el trinomio cuadrado perfecto)= (x2 + y2) – x2y2

(Factorando la diferencia de cuadrados)= (x2 +y2+xy)( x2 +y2 –xy)

(Ordenando) = (x2 +xy+y2)(x2 +xy –y2)

EJERCICIOS

Factorizar:

1) 9+x2 -6x

2) 36y2z2 +x8+24x4yz

3) 10xy –x2 +25y2

4) 6x-x2-9

5) 4a4+8a2b2+9b4

6) a4-16a2b2 +36b4

7) 49m4-151m2n4+81n8

-Factor Común Binomio:
Formula:
ab + ac + ad = a ( b + c + d)
-Factor común por agrupación de terminos:
Formula:
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )
- Factor común polinomio.
Formula:
(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e )

Ejercicios Respuesta:
1) xy2 - y2w =y2( x - w )
2) 5xy2 - 15y =5y(xy - 3 )
3)24a3b2 - 12a3b3= 12a3b2( 2 - b )
4)4xy - 8xy2 - 12xy3
5)16a4b5 - 20a3b2 -4a2b6= 4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2 )
6) xa + 2 - 3xa + 3 - 5xa= xa (x2 + 3x3 + 5)
7) x(a + 7) - 5(a + 7)= (a + 7)(x - 5)
8) 2x(a - 1) - 3y(a - 1)= (a - 1)(2x - 3y)
9) x(a + 9) - a - 9= (a + 9)(x - 1)
10) - x - y + a(x + y)= (x + y)(a - 1)
11) xm - ym + xn - yn = (x - y)(m + n)
12) a2x2 - 8bx2 + a2y2 - 8by2= (x2 + y2)(a2 - 8b)
13) 1 + a + 8ab + 8b= (a + 1)(8b + 1)
14) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b= (6a - 2b)(x + y - 2)
15)a2b3 - m5 + a2b3x2 - m5 x2 - 3a2b3x + 3m5x = (a2b3 - m5)(1- 3x + x2)
16)(x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(x + 3)2